2007年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（文史类）
本试卷分第I卷（选择题）和第II（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知，那么角是
A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角
2．函数的反函数的定义域为
A． B． C． D．
3．函数的最小正周期是
A． B． C． D．
4．椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是
A． B． C． D．
5．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有
A．个 B．个 C．个 D．个
6．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是
A． B． C． D．或
7．平面平面的一个充分条件是
A．存在一条直线
B．存在一条直线
C．存在两条平行直线
D．存在两条异面直线
8．对于函数①，②，③，判断如下三个命题的真假：
命题甲：是偶函数；
命题乙：在上是减函数，在上是增函数；
能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是
A．①② B．①③ C．② D．③
第II卷（共110分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
9．是的导函数，则的值是 ．
10．若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ；
11．已知向量．若向量，则实数的值是 ．
12．在中，若，，，则 ．
13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于 ．
14．已知函数，分别由下表给出
则的值为 ；满足时，= ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共12分）
记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．
（1）若，求；
（2）若，求正数的取值范围．
16．（本小题共13分）
数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．
（1）求的值；
（2）求的通项公式．
17．（本小题共14分）
如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角．是的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求异面直线与所成角的大小．
18．（本小题共12分）
某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求：
（1）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率；
（2）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率；
19．（本小题共14分）
如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上．
（1）求边所在直线的方程；
（2）求矩形外接圆的方程；
（3）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．
20．（本小题共14分）
已知函数与的图象相交于，，，分别是的图象在两点的切线，分别是，与轴的交点．
（1）求的取值范围；
（2）设为点的横坐标，当时，写出以为自变量的函数式，并求其定义域和值域；
（3）试比较与的大小，并说明理由（是坐标原点）．
2007年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文史类）（北京卷）参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．Ａ 6．Ｃ 7．Ｄ 8．Ｃ
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9． 10． 11． 12．
13． 14．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（共12分）
解：（1）由，得．
（2）．
由，得，又，所以，
即的取值范围是．
16．（共13分）
解：（1），，，
因为，，成等比数列，所以，解得或．
当时，，不符合题意舍去，故．
（2）当时，由于
，
，
，
所以．
又，，故．
当时，上式也成立，
所以．
17．（共14分）
解法一：
（1）由题意，，，
是二面角的平面角，
，
又，平面，
又平面．平面平面．
（2）作，垂足为，连结（如图），则，
是异面直线与所成的角．
在中，，，
．
又．
在中，．
异面直线与所成角的大小为．
解法二：
（1）同解法一．
（2）建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
，，
．
异面直线与所成角的大小为．
18．（共13分）
解：（1）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率为．
（2）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率为．
19．（共14分）
解：（1）因为边所在直线的方程为，且与垂直，
所以直线的斜率为．
又因为点在直线上，
所以边所在直线的方程为．
即．
（2）由解得点的坐标为，
因为矩形两条对角线的交点为．
所以为矩形外接圆的圆心．
又．
从而矩形外接圆的方程为．
（3）因为动圆过点，所以是该圆的半径，
又因为动圆与圆外切，所以，即．
故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．
因为实半轴长，半焦距．所以虚半轴长．
从而动圆的圆心的轨迹方程为．
20．（共14分）
解：（1）由方程消得． ①
依题意，该方程有两个正实根，
故解得．
（2）由，求得切线的方程为，
由，并令，得
，是方程①的两实根，且，故，，
是关于的减函数，所以的取值范围是．
是关于的增函数，定义域为，所以值域为，
（3）当时，由（2）可知．
类似可得．．
由①可知．从而．
当时，有相同的结果．
所以．